$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}-2& (\mathrm{x}-1{)}^2& {\mathrm{x}}^3\\ \mathrm{x}-1& {\mathrm{x}}^2& (\mathrm{x}+1{)}^3\\ \mathrm{x}& (\mathrm{x}+1{)}^2& (\mathrm{x}+2{)}^3\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}-2& {\mathrm{x}}^2+1-2\mathrm{x}& {\mathrm{x}}^3\\ \mathrm{x}-1& {\mathrm{x}}^2& {\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1\\ \mathrm{x}& {\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1& {\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+8\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}-2& {\mathrm{x}}^2+1-2\mathrm{x}& {\mathrm{x}}^3\\ 1& 2\mathrm{x}-1& 3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1\\ 2& 4\mathrm{x}& 6{\mathrm{x}}^2+12\mathrm{x}+8\end{array}\right|$

(∵  R₂ → R₂ – R₁

      R₃ → R₃ – R₁)

$=2\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}-2& {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1& {\mathrm{x}}^3\\ 1& 2\mathrm{x}-1& 3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1\\ 0& 1& 8\mathrm{x}+3\end{array}\right|$

 (∵  R₃ → R₃ – 2R₂)

= 2[(x – 2)(6x² + 3x – 3 – 3x² – 3x – 1)] – 3(x – 1)²(x + 1) + x³]

= 2[x³ – 3x² – x + 5]

∴ f(x) = 2x³ – 6x² – 2x + 10

∴ Coefficient of x is – 2 [option C]