$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\{\begin{array}{l}\mathrm{x}-\left[\mathrm{x}\right]\mathrm{if}\left[\mathrm{x}\right]\mathrm{is}\mathrm{odd}\\ 1+\left[\mathrm{x}\right]-\mathrm{x}\mathrm{if}\left[\mathrm{x}\right]\mathrm{is}\mathrm{even}\end{array}$

 $\mathrm{If} \mathrm{x} \notin \mathrm{I}$

 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\{\begin{array}{l}-\mathrm{x}-[-\mathrm{x}]\mathrm{if}[-\mathrm{x}]\mathrm{is}\mathrm{odd}\\ 1+[-\mathrm{x}]+\mathrm{x}\mathrm{if}[-\mathrm{x}]\mathrm{is}\mathrm{even}\end{array}$

 $\{\begin{array}{l}-\mathrm{x}+1+\left[\mathrm{x}\right]\mathrm{if}\left[\mathrm{x}\right]\mathrm{is}\mathrm{even}\\ 1-1-\left[\mathrm{x}\right]+\mathrm{x}\mathrm{if}\left[\mathrm{x}\right]\mathrm{is}\mathrm{odd}\end{array}$

 $\Rightarrow$         f (x) = f (– x)                  (even function)

 $\Rightarrow 2\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{10}\underset{0}{\overset{10}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\cos \mathrm{\pi x}\mathrm{dx}=\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{5}\underset{0}{\overset{10}{\int }}\underset{\mathrm{period}=2}{\underbrace{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}}\underset{\mathrm{period}=1}{\underbrace{\cos \mathrm{\pi x}}}\mathrm{dx}=5\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{5}\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{cos\pi x}\mathrm{dx}$

 $={\mathrm{\pi }}^2(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-\left\{\mathrm{x}\right\}\right)\mathrm{cos\pi }\mathrm{x}\mathrm{dx}+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left\{\mathrm{x}\right\}\mathrm{cos\pi }\mathrm{x}\mathrm{dx})$

 $={\mathrm{\pi }}^2(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{cos\pi }\mathrm{x}\mathrm{dx}-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{x}\mathrm{cos\pi }\mathrm{x}\mathrm{dx}+\underset{1}{\overset{2}{\int }}(-1+\mathrm{x})\mathrm{cos\pi }\mathrm{x}\mathrm{dx})$

 $={\mathrm{\pi }}^2(0-\{{\frac{\mathrm{xsin\pi x}}{\mathrm{\pi }}|}_0^1+{\frac{\mathrm{cos\pi x}}{{\mathrm{\pi }}^2}|}_0^1\}+\{0+{\frac{\mathrm{xsin\pi x}}{\mathrm{\pi }}|}_1^2+{\frac{\mathrm{cos\pi x}}{{\mathrm{\pi }}^2}|}_1^2\})$

 $={\mathrm{\pi }}^2(\frac{2}{{\mathrm{\pi }}^2}+\frac{2}{{\mathrm{\pi }}^2})=4$