cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0

$\Rightarrow 2\cos \frac{5\mathrm{x}}{2}\cos \frac{3\mathrm{x}}{2}+2\cos \frac{5\mathrm{x}}{2}\cos \frac{\mathrm{x}}{2}=0$

$\Rightarrow 2\cos \frac{5\mathrm{x}}{2}\left(2\mathrm{cosxcos}\frac{\mathrm{x}}{2}\right)=0$

$\Rightarrow \cos \frac{\mathrm{x}}{2}=0\mathrm{OR}\cos \mathrm{x}=\mathrm{OR}\cos \frac{5\mathrm{x}}{2}=0$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{x}}{2}=(\text{2n}+\text{1})\frac{\mathrm{\pi }}{2}\text{ OR x}=(\text{2m}+\text{1})\frac{\mathrm{\pi }}{2}\mathrm{OR}\frac{5\mathrm{x}}{2}\mathrm{ }=(\text{2k}+\text{1})\frac{\mathrm{\pi }}{2}\mathrm{ }\Rightarrow \text{x}=\mathrm{ }(\text{2k}+\text{1})\frac{\mathrm{\pi }}{5}$

$\because 0\le \mathrm{x}<2\mathrm{\pi }$

$\therefore \mathrm{x}=\mathrm{\pi },\frac{\mathrm{\pi }}{2},\frac{3\mathrm{\pi }}{2},\frac{\mathrm{\pi }}{5},\frac{3\mathrm{\pi }}{5},\frac{7\mathrm{\pi }}{5},\frac{9\mathrm{\pi }}{5}$

$\therefore$ Number of solutions = 7.