(A)   $\int \frac{\mathrm{x}\mathrm{dx}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\sqrt{1-{\left(\frac{\mathrm{x}+1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)}^2}}$

       $\mathrm{Put}\frac{\mathrm{x}+1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}=\mathrm{t}\Rightarrow \frac{-\mathrm{x}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\mathrm{dx}=\mathrm{dt}$

       $\int \frac{-\mathrm{dt}}{\sqrt{1-{\mathrm{t}}^2}}={\cos }^{-1}\left(\mathrm{t}\right)+\mathrm{C}$

       $\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}+1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$

       $\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{Lim}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1$

       Now, for check option

(B)   $\int {\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{x}+1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

(C)   $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\mathrm{Lim}}\frac{\mathrm{x}+1-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{x}}^2}$

    $=\frac{\mathrm{x}+1-(1+\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2!})}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{·}{\mathrm{x}}^2}=\frac{-1}{2}$

(D)  $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lim}}{(1+\frac{6(\mathrm{x}+1)}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}})}^{\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{3\mathrm{x}}}={\mathrm{e}}^{\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lim}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{3\mathrm{x}}(\frac{6(\mathrm{x}+1)}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}+1-1)}={\mathrm{e}}^{\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lim}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{3\mathrm{x}}\left(\frac{6(\mathrm{x}+1)}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right)}={\mathrm{e}}^2$