$\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lim}}\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1-(\mathrm{x}+1)(\mathrm{ax}+\mathrm{b})}{\mathrm{x}+1}=4$ or $\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lim}}\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1-[{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{ax}+\mathrm{b}]}{\mathrm{x}+1}=4$

 $\mathrm{or}\hspace{0.17em}\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lim}}\frac{(1-\mathrm{a})\mathrm{\hspace{0.17em}}{\mathrm{x}}^2+(1-\mathrm{b}-\mathrm{a})\mathrm{\hspace{0.17em}}\mathrm{x}+(1-\mathrm{b})}{\mathrm{x}+1}=4$

For limit to exist 1 – a = 0 ⟹ a = 1

$\Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lim}}\frac{-\mathrm{bx}+1-\mathrm{b}}{\mathrm{x}+1}=4$ ⟹ – b = 4 or b = – 4 ⟹ a = 1, b = – 4.