a + b = x  

ab = y

x² – c² = y

$\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}$ = ?

Now $\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{s}}\cdot \frac{4\mathrm{\Delta }}{\mathrm{abc}}=\frac{4\cancel{\mathrm{s}}(\mathrm{s}-\mathrm{a})(\mathrm{s}-\mathrm{b})(\mathrm{s}-\mathrm{c})}{\cancel{\mathrm{s}}\mathrm{abc}}$

 $\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}=\frac{2(\mathrm{s}-\mathrm{a})(\mathrm{s}-\mathrm{b})\left(\stackrel{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{\overbrace{2\mathrm{s}-2\mathrm{c}}}\right)}{\mathrm{yc}}=\frac{2({\mathrm{s}}^2-\mathrm{sx}+\mathrm{y})(\mathrm{x}-\mathrm{c})}{\mathrm{c}\mathrm{y}}$

Now x² – c² = y ⇒ (x – c)(x + c) = y        .....(1)

 $\therefore \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}=\frac{2\left(\mathrm{s}(\mathrm{s}-\mathrm{x})+\mathrm{y}\right)}{\mathrm{c}}\frac{1}{\mathrm{x}+\mathrm{c}}$ using (1)

 $=2(\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{c}}{2}\right)\left(\frac{\mathrm{c}-\mathrm{x}}{2}\right)+\mathrm{y})\frac{1}{\mathrm{c}(\mathrm{x}+\mathrm{c})}=2(\frac{{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{x}}^2}{4}+\mathrm{y})\frac{1}{\mathrm{c}(\mathrm{x}+\mathrm{c})}$ 

 $=2(\mathrm{y}-\frac{\mathrm{y}}{4})\frac{1}{\mathrm{c}(\mathrm{x}+\mathrm{c})}=\frac{3\mathrm{y}}{2\mathrm{c}(\mathrm{x}+\mathrm{c})}$ Ans.

Aliter:   a + b = x

            ab = y

            x² – c² = y

            (a + b)² – c² = y ⇒ (a + b – c) (a + b + c) = ab

            ⇒   ab = 4s(s – c)

 $\Rightarrow \frac{4\mathrm{\Delta }}{\tan \frac{\mathrm{C}}{2}}=\mathrm{ab}\Rightarrow \tan \frac{\mathrm{C}}{2}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{R}}$

 $\Rightarrow \tan \frac{\mathrm{C}}{2}=2\mathrm{sinC}\Rightarrow \angle \mathrm{C}=\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

 $\mathrm{Now}\mathrm{\Delta }=\frac{1}{2}\mathrm{absinc}\Rightarrow \mathrm{\Delta }=\frac{\sqrt{3}\mathrm{ab}}{4}$

Also    $\mathrm{\Delta }=\frac{\mathrm{abc}}{4\mathrm{R}}$

One equating both, we get   R =  $\frac{\mathrm{c}}{\sqrt{3}}$

 $\mathrm{r}=\frac{\mathrm{\Delta }}{\mathrm{s}}\Rightarrow \mathrm{r}=\frac{\sqrt{3}\mathrm{ab}\mathrm{·}2}{4(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})}\Rightarrow \mathrm{r}=\frac{\sqrt{3}\mathrm{ab}}{2(\mathrm{x}+\mathrm{c})}$

 $\mathrm{Now}\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}=\frac{3\mathrm{ab}}{2\mathrm{c}(\mathrm{x}+\mathrm{c})}\Rightarrow \frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}=\frac{3\mathrm{y}}{2\mathrm{c}(\mathrm{x}+\mathrm{c})}$