Question

f ²(x) – f ²(y) = 3 f (x) – 3 f (y) + $\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{y}}$
2 f (x) f ' (x) = 3 f ' (x) + $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$
⇒ (2f(x) – 3) f ' (x) = $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$
Integrating
$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{·}\frac{{\left(2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3\right)}^2}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{·}2\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$
${\left(2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3\right)}^2=4\sqrt{\mathrm{x}}+4\mathrm{c}$    {f (0) = 2}
  x = 0,  4c = 1
$\therefore 2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3=\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1}$
   f (x) = $\frac{1}{2}(3+\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1})$
(i)   $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\mathrm{Lim}}\frac{2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3-{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}{\sqrt{\mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\mathrm{Lim}}\frac{\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1}-{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}{\sqrt{\mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\mathrm{Lim}}\frac{4\sqrt{\mathrm{x}}+1-{\mathrm{e}}^{2\sqrt{\mathrm{x}}}}{\sqrt{\mathrm{x}}(\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1}+{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}})}$
$=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\mathrm{Lim}}(4-\frac{({\mathrm{e}}^{2\sqrt{\mathrm{x}}}-1)}{\sqrt{\mathrm{x}}})\mathrm{·}\frac{1}{(\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1}+{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}})}=(4-2).\frac{1}{2}=1$
(ii) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{4}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\right)=\frac{-4\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{g}}^2\left(\mathrm{x}\right)}$
${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{4}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\right)|}_{\mathrm{x}=3}=\frac{-4\mathrm{g}\text{'}\left(3\right)}{{\mathrm{g}}^2\left(3\right)}$
For f(x) = 3 ⇒ x = 4
$\therefore$ g(3) = 4
    g'(3) = $\frac{1}{\mathrm{f}\text{'}\left(4\right)}$,    f ' (x) = $\frac{1}{2\mathrm{·}2\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1}}\cdot \frac{4}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$
                f ' (4) = $\frac{1}{2·3·2}=\frac{1}{12}$
$\therefore {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{4}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\right)|}_{\mathrm{x}=3}=\frac{-4\times 12}{16}=-3$

f ²(x) – f ²(y) = 3 f (x) – 3 f (y) + $\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{y}}$
2 f (x) f ' (x) = 3 f ' (x) + $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$
⇒ (2f(x) – 3) f ' (x) = $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$
Integrating
$\Rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{·}\frac{{\left(2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3\right)}^2}{2}=\frac{1}{2}\mathrm{·}2\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$
${\left(2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3\right)}^2=4\sqrt{\mathrm{x}}+4\mathrm{c}$    {f (0) = 2}
  x = 0,  4c = 1
$\therefore 2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3=\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1}$
   f (x) = $\frac{1}{2}(3+\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1})$
(i)   $\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\mathrm{Lim}}\frac{2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-3-{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}{\sqrt{\mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\mathrm{Lim}}\frac{\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1}-{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}}}{\sqrt{\mathrm{x}}}=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\mathrm{Lim}}\frac{4\sqrt{\mathrm{x}}+1-{\mathrm{e}}^{2\sqrt{\mathrm{x}}}}{\sqrt{\mathrm{x}}(\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1}+{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}})}$
$=\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{\mathrm{Lim}}(4-\frac{({\mathrm{e}}^{2\sqrt{\mathrm{x}}}-1)}{\sqrt{\mathrm{x}}})\mathrm{·}\frac{1}{(\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1}+{\mathrm{e}}^{\sqrt{\mathrm{x}}})}=(4-2).\frac{1}{2}=1$
(ii) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{4}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\right)=\frac{-4\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{g}}^2\left(\mathrm{x}\right)}$
${\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{4}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\right)|}_{\mathrm{x}=3}=\frac{-4\mathrm{g}\text{'}\left(3\right)}{{\mathrm{g}}^2\left(3\right)}$
For f(x) = 3 ⇒ x = 4
$\therefore$ g(3) = 4
    g'(3) = $\frac{1}{\mathrm{f}\text{'}\left(4\right)}$,    f ' (x) = $\frac{1}{2\mathrm{·}2\sqrt{4\sqrt{\mathrm{x}}+1}}\cdot \frac{4}{2\sqrt{\mathrm{x}}}$
                f ' (4) = $\frac{1}{2·3·2}=\frac{1}{12}$
$\therefore {\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{4}{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\right)|}_{\mathrm{x}=3}=\frac{-4\times 12}{16}=-3$