Given  $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{·}\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}\mathrm{·}\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}\mathrm{·}\overrightarrow{\mathrm{a}}=\frac{1}{2}$

and  $\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{p}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{q}\overrightarrow{\mathrm{b}}+\mathrm{r}\overrightarrow{\mathrm{c}}$                         ......(1)

ake dot with  $\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{c}}$

 $\therefore {\left[\overrightarrow{\mathrm{a}}\overrightarrow{\mathbf{b}}\overrightarrow{\mathrm{c}}\right]}_{}^{}=\mathrm{p}+\frac{\mathrm{q}}{2}+\frac{\mathrm{r}}{2}$                                             .....(2)

 $0=\frac{\mathrm{p}}{2}+\mathrm{q}+\frac{\mathrm{r}}{2}$                                                               .....(3)

 ${\left[\overrightarrow{\mathrm{a}}\overrightarrow{\mathbf{b}}\overrightarrow{\mathrm{c}}\right]}_{}^{}=\frac{\mathrm{p}}{2}+\frac{\mathrm{q}}{2}+\mathrm{r}$                                                    .....(4)

(4) – (2)      ⇒         r – p = 0

 $\therefore$     r = p

Put in equation (3), we get         p + q = 0

Hence    $\frac{{\mathrm{p}}^2+2{\mathrm{q}}^2+{\mathrm{r}}^2}{{\mathrm{q}}^2}=\frac{{\mathrm{p}}^2+{\mathrm{p}}^2+2{\mathrm{p}}^2}{{\mathrm{p}}^2}=4$

Aliter :   $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=1=\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{c}}\right|$

Also,   $\overrightarrow{\mathrm{a}}\mathrm{·}\overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{b}}\mathrm{·}\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{c}}\mathrm{·}\overrightarrow{\mathrm{a}}=\frac{1}{2}$

Now       $\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}\times \overrightarrow{\mathrm{c}}=\mathrm{p}\overrightarrow{\mathrm{a}}+\mathrm{a}\overrightarrow{\mathrm{b}}+\mathrm{r}\overrightarrow{\mathrm{c}}$

Take dot product with  $\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{c}}$

 $\therefore$     on solving, we get

 $\mathrm{p}=\frac{1}{\sqrt{2}},\mathrm{q}=\frac{-1}{\sqrt{2}},\mathrm{r}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

 $\Rightarrow \frac{{\mathrm{p}}^2+2{\mathrm{q}}^2+{\mathrm{r}}^2}{{\mathrm{q}}^2}=4$