${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\sum _{\mathrm{k}=1}^{4\mathrm{n}}{(-1)}^{\frac{\mathrm{k}(\mathrm{k}+1)}{2}}{\mathrm{k}}^2$

= – (1)² – (2)² + (3)² + (4)² – (5)² – (6)² + (7)² + (8)² – (9)² – (10)² + (11)² + (12)² +........... + (4n – 1)² + (4n)²

= (3² – 1²) + (4² – 2²) + (7² – 5²) + (8² – 6²)  + (11² – 9²) + (122 – 10²) +................ +  ${\text{((4n−1)}}^2-{(4\mathrm{n}-3)}^2)+({\left(4\mathrm{n}\right)}^2-{(4\mathrm{n}-2)}^2)$

= 2 [4 + 12 + 20 + ……. upto n terms] + 2 [6 + 14 + 22  + ……. upto n terms]

 = 2 (8 + (n – 1) 8) + n (12 + (n – 1) 8)

S_n = 4n (4n + 1)

 $\therefore$  S₈ = 32 × 33 = 1056

and       S₉ = 36 × 37 = 1332.