$\mathrm{\ell }=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lim}}{\left(\frac{(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2)\dots \dots .(\mathrm{n}+2\mathrm{n})}{{\mathrm{n}}^{2\mathrm{n}}}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{n}}}$

$\mathrm{\ell }=\underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lim}}{((1+\frac{1}{\mathrm{n}})(1+\frac{2}{\mathrm{n}})\dots \dots .(1+\frac{2\mathrm{n}}{\mathrm{n}}))}^{\frac{1}{\mathrm{n}}}$

$\mathrm{In}\mathrm{\ell }=\underset{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{Lim}}\frac{1}{\mathrm{n}}\sum _{\mathrm{r}=1}^{2\mathrm{n}}\ln (1+\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{n}})=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\ln (1+\mathrm{x})\mathrm{dx}={\mathrm{x}\mathrm{·}\ln (1+\mathrm{x})|}_0^2-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{\mathrm{x}+1-1}{\mathrm{x}+1}\mathrm{dx}$

$=2\mathrm{\ell n}3-{\left(\mathrm{x}-\ln (1+\mathrm{x})\right)|}_0^2$

= 2 ℓn 3 – (2 – ln 3)

= 3 ℓn 3 – 2

$\Rightarrow \mathrm{\ell }=\frac{27}{{\mathrm{e}}^2}.$