$\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1}-\sqrt{{\sin }^2\mathrm{x}-\mathrm{x}+1}}$

$=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1-{\sin }^2\mathrm{x}+\mathrm{x}-1}\times (\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\sin +\mathrm{x}+1}+\sqrt{{\sin }^2\mathrm{x}-\mathrm{x}+1})$

$=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}-{\sin }^2\mathrm{x}+\mathrm{x}}\times \left(2\right)$

Applying L’H Rule

$=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2(1+2\mathrm{cosx})}{2\mathrm{x}+2\mathrm{cosx}-2\mathrm{sinxcos}+1}=\frac{2\left(3\right)}{2+1}=2$